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数量排列组合类题到底如何攻克?—插空法来给你解答

2019-12-04 16:24:46 国家公务员考试网 http://xj.huatu.com/ 文章来源:未知

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  数量关系通常考查小伙伴们生对数学基本思维和计算的掌握程度,其中“排列组合”一直都是数量关系中相对较难的一个章节,要想学好排列组合,不仅要掌握排列、组合、分类、分步等基本概念,更要熟悉具体的技巧方法。今天,大脸就来带各位小伙伴们一起看一下其中一种比较常用的解题方法—插空法。

  什么样的题型可以使用插空法呢?我们来看一个例子:

  【示例】把12棵同样的松树和6棵同样的柏树种植在道路两侧,每侧种植9棵,要求每侧的柏树数量相等且不相邻,且道路起点和终点处两侧种植的都必须是松树。问有多少种不同的种植方法?

  A. 36 B. 50

  C. 100 D. 400

  【答 案】C

  【解 析】

  第一步,本题考查排列组合问题,属于方法技巧类。

  第二步,利用每侧柏树“相等”可得,每侧3棵柏树,松树有9-3=6(棵)。根据“不相邻”用插空法,去掉起点和终点,6棵松树之间有5个空,故柏树种植情况有=10(种)。

  第三步,根据“两侧”植树,可得总的种植方法为10×10=100(种)。

  因此,选择C选项。

  由于本题明确要求柏树“不相邻”,可优先排好松树,然后将柏树插入松树形成的空隙中,即可满足题意。此题需要注意,道路的起点与终点两侧种植的都必须是松树,故柏树在插空时,每侧只能选择6棵松树间的5个空,不可插到松树的外侧。

  除了上述题目,我们在今后做题过程中,遇到什么样特征的题目可以使用插空法解题呢?通常情况下,分为以下三类:

  ①出现要求不相邻、不相连、不连续等标志词;

  【例】某兴趣组有男女生各5名,他们都准备了表演节目。现在需要选出4名学生各自表演1个节目,这4人中既要有男生、也要有女生,且不能由男生连续表演节目。那么,不同的节目安排有多少种?

  A. 1200 B. 2400

  C. 3000 D. 3600

  【答 案】B

  【解 析】

  第一步,本题考查排列组合问题,属于方法技巧类。

  第二步,根据不能由男生连续表演节目可采用插空法,先从男生和女生中选取所需要的人数,然后安排女生表演节目,最后将男生的节目插入到女生的节目之间,需要考虑顺序。有以下两种情况:

  ①1男3女,安排方式有(种);

  ②2男2女,安排方式有(种)。

  第三步,总安排方式为1200+1200=2400(种)。

  因此,选择B选项。

  此题与示例类似,但在解题过程中需考虑分类与分步,当选择了1个男生时,无论如何安排都不会“连续”;当选择了3个男生时,无论如何安排都一定“连续”;当2男2女时,需先安排好女生再将2个男生插到女生排列后形成的空中去,即可满足题意,此时先安排2名女生,可形成3个空。

  ②出现要求至少有2个相邻的标志词;

  【例】某篮球队12个人的球衣号码是从4到15的自然数,若从中选出3个人参加三对三篮球比赛,则选出的人中至少有两人的球衣号码是相邻自然数的概率为多少?

  A. B.

  C. D.

  【答 案】C

  【解 析】

  第一步,本题考查概率问题,属于基本概率,用插空法解题。

  第二步,要求选出的人中至少有两人相邻的概率,则可用1减去选出的3个人均不相邻的概率。12个人选出3人后剩9个人,可以想象为把选出的3个人插到9个人所形成的10个空中,则这三人必定均不相邻,故三个人均不相邻的概率。

  第三步,因此至少两个人相邻的概率=。

  因此,选择C选项。

  此题与示例类似,用插空法解题,但区别在于此题若正面求解则相对情况较多,故可反向思考用总的情况减去“不符合题意”(即3个人的号码均“不相邻”)的情况,此时便转化为了插空法的题目特征,可顺利进行求解。

  ③出现相邻的2个中至少有1个有特殊要求的标志词。

  【例】某条道路一侧共有20盏路灯。为了节约用电,计划只打开其中的10盏。但为了不影响行路安全,要求相邻的两盏路灯中至少有一盏是打开的,则共有( )种开灯方案。

  A. 2 B. 6

  C. 11 D. 13

  【 答 案】C

  【解 析】

  第一步,本题考查排列组合问题,属于方法技巧类,用插空法解题。

  第二步,一侧共20盏灯,打开其中10盏,则熄灭10盏,相邻两盏灯中至少有一盏是打开的,则熄灭的灯不能相邻,将10盏熄灭的灯插到10盏打开的灯形成的11个空中,共有(种)开灯方案。

  因此,选择C选项。

  这道题目相对较为复杂,虽然也使用到插空法,但解题的难点在于将已知条件转化为我们较为熟悉的语言,相邻的两盏路灯中至少有一盏是打开的,即关闭的路灯“不相邻”,只有理解了此题的关键信息才可利用插空法顺利解题。


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(编辑:Carry)

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